根據我國相關法律規定，在公示催告期屆滿，且無人申報權利的情況下，申請人可以按照以下步驟進行：

1. 提交申請：申請人需向法院提交申請，請求法院根據公示催告程序作出判決。申請時應附有以下材料：
- 公示催告申請書；
- 公示催告期間無人申報權利的證明；
- 申請人身份證明及有關權利依據。

2. 法院審理：法院收到申請后，將依法對申請材料進行審查。若符合法律規定，法院將作出判決，確認申請人的權利。

3. 判決生效：法院作出的判決生效后，申請人可以依據該判決要求執行相應的權利。例如，在繼承權糾紛中，判決生效后，申請人可以要求繼承遺產。

4. 執行程序：若申請人的權利涉及財產權益，可以在判決生效后，向法院申請執行程序，以實現其權利。

5. 無人異議：在公示催告期間，若無人提出異議，申請人可以要求法院根據公示催告程序直接作出判決。

總結：

當公示催告期屆滿且無人申報權利時，申請人可以向法院提交申請，請求法院作出判決確認其權利。在此過程中，申請人需遵循法律規定，提交相關材料，并耐心等待法院審理。一旦判決生效，申請人即可依據判決執行相應的權利。

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